高中数学139个知识点

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[原创]高考临近给你提个醒139条
高考临近给你提个醒（2006.5.1）高三同学,当你即将迈进考场时，对于以下问题，你是否有清醒的认识？老师提醒你： 1．研究集合问题，一定要抓住集合的代表元素，如： = , = , 各不相同。 2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和文氏图进行求解。 3．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 4．对偶原则 ； 5．集合A中有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 6．集合A中有n个元素，集合B中有m个元素，则A到B的映射有 个。 7．Card ＝Card（A）＋Card（B）－Card（ ）（Card（A）指集合A中元素个数） 8．若 ，则 ；若A=B，则 （充要条件） 9．映射概念的三要素：①方向性；②A中元素无剩余，B中元素可剩余；③可以一对一，多对一，但不能是一对多。一一映射是一对一，且两集合元素个数相同。 10．求不等式（方程）的解集，或求定义域时，你按要求写成集合形式了吗？ 11．判断两个函数是否为同一个函数的关键是判断它们的定义域和对应法则是否相同。只要这两者相同，值域一定相同，则一定是相同的函数。 12．求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，你注明函数的定义域了吗？ 13．求函数单调区间时，你是否写成了区间形式，两个单调区间不能并起来。 14．“ 单调”是“ 有反函数”的什么条件？（充分不必要。如 有反函数但不单调）“函数 有反函数”的充要条件是什么？（函数 为一一映射。） 15． 是 的反函数吗？（不是， 和 互为反函数。） 16．不等式 ， 或 17．三个二次（一元二次方程，一元二次函数，一元二次不等式）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？注意到对二次项系数进行讨论了吗？ 18．特别提醒：二次方程 的两个根即为不等式 解集的端点值，也是二次函数 的图像与x轴的交点的横坐标。 19．判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（函数 定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要非充分条件。）常见的奇函数、偶函数熟悉了吗？ 20．函数单调性的证明方法是什么？（定义法，导数法）。 21．特别注意函数单调性与奇偶性的逆用。（①比较大小；②解不等式；③求参数的范围）。 22． 的图像及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用不等式求函数最值的联系是什么？ 23．研究函数问题牢记“定义域优先法”了吗？研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？ 24．解对数函数问题时注意到真数与底数的限制了吗？指数、对数函数的图像与性质明确了吗？ 25．记住对数的一些运算性质： ； ； ； 26．求函数值域的方法要掌握：配方法，观察法，换元法（整体换元、三角换元），单调性法，反函数法，判别式法，图像法，不等式法，分离参数法，求导法。 27． 是 上的奇函数，则 。 28． 与它的反函数 的交点必在直线 上吗？（若 为增函数则一定，否则无法判断）如函数 与 的交点为 ，交点不在直线 上。 29． ， 。 30．底数对函数图像的影响： （在第一象限内从上而下底数减小） （在第一象限内从上而下底数增大） 31．三角函数（正弦、余弦、正切）图像的草图能迅速的画出吗？能写出它们的单调区间及其取最值时的x值的集合吗？(别忘了 )。 32．解三角形不等式组时,若都是同名函数,常在三角函数图像中去找,若不是同名三角函数,常借助三角函数线来找出答案。 33．三角函数中的和、差、倍、降次公式及其逆用、变形用都掌握了吗？ 34．会用五点法画 的草图吗？哪五点？会根据图像求参数 的值吗？ 35．正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（正弦定理可以用来求三角形外接圆的半径） 36．你对三角变换中的几大变换清楚吗？（①角的变换：和差、倍角公式；②名的变换：切割化弦；③次的变换：升、降次公式；④形的变换：统一函数形式）。 37．诱导公式记住了吗？（奇变偶不变，符号看象限）。 38．在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面了吗？（先求出某个三角函数值，再判定角的范围）。 39．形如 ， 的最小正周期会求吗？形如 和 的最小正周期是什么？常用的求周期函数的方法掌握了吗？ 40． 的用途掌握了吗？ 41．在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？例如已知 ，求 的变化范围。（〔 〕） 42． 在三角中，你知道1等于什么吗？ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用． 43.反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是 44..对称变换： ①y=f(x)与y=f(-x)的图像关于 y轴 对称； ②y=f(x)与y=-f(x)的图像关于 x轴 对称； ③y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于 原点 对称； ④y=f(x)与y=f(m-x)的图像关于直线x= 对称； ⑤y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称； ⑥若函数对定义域内的任意x，都有f(a+x)=f(a-x)(a为常数)，则f(x)的图像关于直线x=a对称（注：f(a+x)=f(a-x) f(x)=f(2a-x)）；一般的，若f(a+x)=f(b-x)，则f(x)的图像关于直线 对称，若f(x)=2b-f(2a-x)，则f(x)的图像关于点(a，b)对称。 45．平移变换：以下a>0，w>0 ①把y=f(x)的图像向左平移a个单位，得到y=f(x+a)的图像； ②把y=f(x)的图像向右平移a个单位，得到y=f(x-a)的图像（左加右减）； ③把y=f(x)的图像向上平移a个单位，得到y=f(x)+a的图像； ④把y=f(x)的图像向右平移a个单位，得到y=f(x)-a的图像； ⑤把y=f(wx)的图像向右平移 个单位，得到y=f(wx-a)的图像；伸缩变换： ①把y=f(x)的图像上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的w倍，得到y=wf(x)的图像； ②把y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到y=f(wx)的图像。例如：由 如何变换得到 的图像？ 46．周期： ①若 (T为常数)，则T为 的一个周期，且 ； ②若 满足 ，那么 是周期函数，一个周期是T＝｜ ｜； ③若 的图像同时关于直线x=a和x=b对称，那么函数 是周期函数，一个周期是T＝2｜ ｜； ④若 的图像既关于点（a，c）成中心对称，又关于点（b，c）成中心对称，那么函数 是周期函数，一个周期是T＝2｜ ｜。 ⑤若 的图像既关于直线x=a成轴对称，又关于点（b，c）成中心对称，那么函数 是周期函数，一个周期是T＝4｜ ｜。 47．三角方程或三角不等式的通解一般式你注明 了吗？ 48．你记得弧度制下的弧长公式和扇形公式吗？（ ， ） 49．在用反三角表示直线的倾斜角、两条直线所成的角、二面角的平面角、直线与平面所成的角时，是否注意到了它们的范围？ 50．在 中， 51．使用正弦定理时易忘比值还等于2R． 52. 与实数0有区别， 的模为数0，它不是没有方向，而是方向不定。 可以看成与任意向量平行，但与任意向量都不垂直。 53． ，则 。 。 54． 55． 56．重要不等式是指哪几个不等式？由它们推出的不等式链是什么？（ ）（ ， ）。 57．不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法；分析法；综合法；数学归纳法）。 58．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：一正、二定、三相等的条件了？ 59．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示． 60.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即a＞b＞o ，a＜b＜o ． 61．解分式不等式 应注意什么问题？（不能去分母，而要移项通分）。 62．解含参数不等式怎样讨论？注意解完后要写上：“综上，原不等式解集是…” 63．诸如 对一切 恒成立，求 的范围，你讨论二次项的系数了吗？ 64．解恒成立问题常用方法：①分离参数法；②数形结合；③交换主元（变元变换）。你能清楚何时用何种方法吗？常见题型：①若 在 上恒成立，则 ；若 在 上恒成立，则 。②若 在 上有解，则 ；若 在 上无解，则 。（注： 为常数。）③ 在 上恒成立，是对于任意的 ， 必须大于 吗？应该怎样解？（不是。通常移项，使 即可；若 的最值无法求出，则考虑数形结合，只需在 上 的图像始终在 的上方即可。） 65．解对数不等式应注意什么？① ；② ；③ 。（化成同底，利用单调性，真数要大于0，底数要大于0且不等于1。） 的定义域为R，和 的值域为R，分别求 的取值范围你能区分它们之间的差别吗？ 66．“穿根法”（“穿针引线法”）解不等式的注意事项是什么？（ 的系数均为正，从右向左，从上向下，奇次穿透，偶次不穿透。） 67. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底 或 ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……． 68.常用放缩技巧： 69．等差数列的重要性质： ① ， ； ② ； ③若 ，则 ； ④ 成等差数列，公差为 ； ⑤ 成等差数列，公差为 ； ⑥若 ，则 ； ⑦若 ，则 ； ⑧若 ，则 ； ⑨若 ，则 ； ⑩若 ，则 ； ⑾若 ，则 ， ； ⑿若 为奇数，则 ， ， ；若 为偶数，则 ， ； ⒀若 都是等差数列，前 项和分别为 ， ，且 ，则 ， ；（注： ， ，其中 为非0常数。） ⒁ 为等差数列， 为等比数列， ，公差 ，公比 ，若 ， ，则 ， ； ⒂等差数列 前 项和为 ，且 ，若存在自然数 ，使得 ，当 时， 。 70．等比数列性质： ① ； ② ； ③ ； ④若 ，则 ； ⑤ ，…，成等比数列，公比为 ； ⑥等比数列中一定没有0这一项，且奇数项同号，偶数项同号； ⑦ 同号时，才有等比中项，且等比中项有两个，互为相反数； ⑧ 是 成等比数列的既不充分也不必条件； ⑨ 与 的等比中项为 ； ⑩用等比数列的求和公式时别忘了注意 与 两种情况。 71．数列求和的常用方法：①公式法；②倒序相加法；③错位相减法；④分组求和法；⑤裂项相消法。 72．数列通项的求法：①公式法；②取倒数；③类等差；④类等比；⑤数学归纳法（先猜后证）。 73．用 求数列通项时要注意 ； 74． ，若 是公比，注意 。 75．求无穷数列和（积）的极限时，要“先求和（积），把无限化为有限，然后再取极限” 76．复数相等的充要条件： 。 77．作二面角的平面角的主要方法：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法。 78．求线面角的关键是找直线的射影（也可以考虑把直线平移），范围是 ；异面直线的角如何求，范围是什么？ 79．已知两异面直线 所成的角为 ，过定点的直线 与 所成的角都是 ， ①当 或 时，这样的直线有1条； ②当 时，这样的直线有2条； ③当 时，这样的直线有3条； ④当 时，这样的直线有4条。（注：如果没说直线过定点，若存在1条，则存在无数条。） 80．三棱锥 中， 为点 在面 上的射影， ①若 ，则 为 的外心； ②若 到 三边的距离相等，则 为 的内心； ③若 与底面所成的线面角相等，则 为 的外心； ④若三侧面与底面所成的二面角相等，则 为 的内心； ⑤若 两两垂直，则 为 的垂心。 81．正四面体的高为 ，内切球半径与外接球半径之比为1：3，即内切球半径为 ，外接球半径为 。 82．最小角定理： （注：逆定理仍然成立，可以用来判断面面垂直）。 83．三棱锥的三侧棱两两垂直，则 ；（空间中的勾股定理。）（注：侧棱两两垂直的三棱锥问题可以考虑补体。） 84．长方体中，对角线 和与 共点的3条棱所成的角为 ，则 ，或 。 85．长方体中，对角线 和与 共点的3个面所成的角为 ，则 ，或 。 86．长方体截下一角，截面为锐角三角形。经纬度定义易混. 经度为二面角,纬度为线面角. 87．定比分点公式记住了吗? 的取值与分点 和 的位置有何关系？ 88．平移公式记准了吗？平移前函数的解析式，平移向量，平移后函数的解析式，三者知二会求另外一个。 89．函数按向量平移与平常的“左加右减”有何联系？ 90．向量平移具有坐标不变性。如： ， ，则 沿向量 平移后的向量坐标为（4，5）。 91．直线的斜率公式、点到直线的距离公式、到角公式、夹角公式记住了吗？ 92．何为直线的方向向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？直线 的法向量是什么？ 93．用点斜式、斜截式求直线方程时，你是注意到斜率不存在的情况了？ 94．直线与圆的位置关系利用什么方法判断？（圆心到直线的距离与圆的半径作比较。）直线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？（联立，先看二次项系数，再看判别式。也可参考直线的特点用数形结合来判断） 95．圆 的半径 ，圆心到直线 的距离为 ， ①若圆上恰好存在一个点到 的距离为 ，则 ； ②若圆上恰好存在两个点到 的距离为 ，则 ； ③若圆上恰好存在三个点到 的距离为 ，则 ； ④若圆上恰好存在四个点到 的距离为 ，则 ； 96．定点 ，圆 ： ，直线 ： ， ①当 在圆上时， 为圆 过点 的切线； ②当 在圆外时， 为过 作的圆 的切点弦所在直线； ③当 在圆内时（异于圆心）， 为过 作圆 的动弦 ，以 为切点的两切线的交点的轨迹。此时， 与圆 相离。 97．对于椭圆 （ ）上一点 ，若 是焦点， ， ，则椭圆离心率 ，若 ，则 。 98．对于双曲线 上一点 ，若 是焦点， ， ，（ ）则双曲线离心率 ，若 ，则 ，双曲线焦点到渐进线的距离 。 99．双曲线 上的点到一焦点的距离为12，则到另一焦点的距离为 6或18 ；若到一焦点的距离为4，则到另一焦点的距离为10；若到一焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为13。（提示：焦半径要与 做比较） 100．过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于 两点，若 ，则这样的直线 共有____条；若 ，则 共有____条；若 ，则 共有____条；若 ，则 共有____条。（提示： 与 及通径 比较） 101．已知 、 ，在双曲线 上求一点 ，使 最小。 102．已知椭圆 ， 为右焦点，定点 ， 为椭圆上一点， ①求 的坐标，使 最小；②求 的最大值，最小值。 103．对抛物线 （ ）， ①焦半径： ， ， ； ②焦点弦长： 、 在抛物线上，且 过焦点 ，则 ，或 （ 为直线 的倾斜角）； ③如图： Ⅰ． ； Ⅱ．以 为直径的圆与 轴相切； Ⅲ．以 为直径的圆与准线相切； Ⅳ． ， ； Ⅴ．点 三点共线； Ⅵ． 为中点，则 ； Ⅶ． ，则 ， ； Ⅷ． 。 ④抛物线 上到点 的距离最近的点为顶点，则 的范围为 。 ⑤A,B两点在抛物线 且 ，求AB中点M到y轴的最短距离 . 104． 是抛物线 上的两点， ， ， ，则. ， ；.直线 过定点 。.求AB中点的轨迹方程。.过O向AB引垂线，求垂足G的轨迹方程。.求 面积的最小值。 105．利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？ 106．用圆锥曲线方程与直线方程联立求解时，在得到方程中，你注意到 这一条件了吗？圆锥曲线本身的范围你注意到了吗？ 107．截距是距离吗？“截距相等”意味着什么？ 108.用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时, 易忽略斜率不存在的情况． 109.用到角公式时，易将直线l1、l2的斜率k1、k2的顺序弄颠倒． 110.如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,只有一个交点．此时两个方程联立，消元后为一次方程． 111．弦长公式记住了吗？ 112．圆锥曲线的焦半径公式分别是什么？有何应用？ 113．解应用题应注意的最基本要求是什么？（审题，找准题目中的关键词，设未知数，列出函数关系式，注明函数定义域，代入初始条件，注明单位，写好答语） 114．二项展开式的通项公式是什么？它的主要用途有哪些？二项式系数的相关结论有哪些？ 115. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法． 116．隔板法还记得吗？哪些问题可用此法？ 117．“函数在极值点处的导数值为零”是否会灵活应用？ 118．常见的概率计算公式还记得吗？二项分布与几何分布的期望与方差分别是什么？ 119．理解正态分布的概念，μ，σ的含义以及对正态密度函数图象的影响，记住公式 、 和 。 120. 求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角时，如果所求的角为90°，那么就不要忘了还有一种求角的方法即用证明它们垂直的方法. 121. 线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为”一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大． 122.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见. 123.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法） 124.两条异面直线所成的角的范围：0°