离散数学问题

  前4题按照定义直接计算或者验证即可。第5题：

构造映射f:[0,1] --> (0,1)

f(0)=1/2;

f(1/n)=1/(n+2), n=1,2,3,。。。

f(x)=x, 对其他任意x∈（0,1）。

不难验证f是[0,1] --> (0,1)的一个双射，从而证得[0,1]与(0,1)有相同的势。
  

第1题：f^2(i)=f(2i+1)=2[2i+1]+1=4i+3;

f^3(i)=f[f^2(i)]=f(4i+3)=2[4i+3]+1=8i+7。

第2题：因为gf是满射，所以gf的像集合=C。显然gf的像集合包含在g的像集合中，因此推出g的像集合=C，即证g是满射。
  

第3题：映射f,g:R --> R。f不是内射，因为其像集合{f(x)>=-2}是R的真子集；进而可知f不是满射，更不是双射。显然g的像集合=R，所以g是满射，不是内射。进一步地，容易证明g是单射，从而g是双射。

fg(x)=f[x+4]=(x+4)^2-2=x^2+8x+14仍然是一条开口朝上的抛物线，其像集合显然是R的真子集，所以fg是内射而不是满射，从而也不是双射。
  

同理，gf(x)=g[x^2-2]=x^2+2是内射而非满射，也不是双射。

第4题：y=f(x)=x^3-3, 则其逆函数x=f^-1(y)=(y+3)的立方根。