椭圆的离心率公式e=c/a 如何推导?
是定义,不用推导。
偏心率,离心率
eccentricity
离心率统一定义是在圆锥曲线中,动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比
椭圆扁平程度的一种量度,离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
离心率e=(ra-rp)/(ra+rp),ra指远点距离,rp指近点距离。
e=(ra-rp)/(ra+rp)
=(2c)/(2a)
=c/a
求椭圆公式讲解
平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。 即:│PF│+│PF'│=2a 其中两定点F、F'叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│FF'│=2c0) 2)焦点在Y轴时,标准方程为:y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)
椭圆怎么分析
椭圆周长=圆周率*(a+b) (其中a,b为椭圆的两个半轴长)
标准方程
高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程为:x^2/a^2+y^2/b^2=1
其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们分别叫椭圆的长半轴和短半轴)当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是:x=acosθ , y=bsinθ
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = 4a * sqrt(1-e^sin^t)的(0 - pi/2)积分, 其中a为椭圆长轴,e为离心率
椭圆的离心率公式
e=c/a
椭圆的准线方程
x=+-a^2/C
椭圆焦半径公式
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
求曲线方程的一般步骤及要点是
建系、列式、化简、证明。
第一步骤“建系(建立坐标系)”在实际问题中有两种情况:(1)所研究的问题中已经有坐标系,此时在给定的坐标系中求出方程即可;(2)条件中无坐标系,这时必须首先选取适当坐标系,通常总是选取特殊位置的点为原点,相互垂直的直线为坐标轴等。
第二步是最重要的一环,须仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件,抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件,列出方程。在将几何条件转化为代数方程的过程中,要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用,还会常用到一些基本公式,如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。
第三步,在化简过程中,要注意运算和变形的合理性与准确性,避免“失解”和“增解”。
对于第四步,中学阶段不作要求(从理论上讲则是必要的),多数情况下不会有什么问题,但若遇特殊情况则应该适当予以说明。例如,根据题意,某些点虽然其坐标满足方程,但却不在所求曲线上,那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。
5.例题解析
例1 求经过定点A(2,0),且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。
解如图易知,动点到定点的距离与到定直线的距离相等,根据圆锥曲线的定义可知,动点轨迹是抛物线y2=2px,其中,p=4,所以,所求P点轨迹方程是y2=8x。
例2 (1992年全国高考题)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是______________
解 由两焦点知双曲线的中心为(2,0),c=4,c/a=2,a=2,b2=12,
∴所求曲线方程是。
例3 (1993年全国理科题)动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切,则动圆圆心的轨迹方程是( )
A.抛物线 B.圆 C.双曲线的一支 D.椭圆
解 由条件设O:x2+y2=1,r1=1;M:(x-2)2+y2=4,r2=2,M(2,0),设动圆圆心为P(x,y),半径为r,则有, ,
∴,
根据双曲线的定义,动圆圆心轨迹是双曲线的一支。故选C。
例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F(0,5)的距离成等差数列,求y1+y2的值。
解 ∵,∴双曲线的准线为m:y=5/12,
作AA1⊥m于A1则, ∴,
同理:,
∵,
∴ 2,
∴y1+y2=12。
说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解,这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一,其中例3和例4分别使用了第一和第二定义,实际上,凡题目中出现“焦半径(焦点与曲线上点的连线)”,就应考虑使用圆锥曲线的定义,若还有“准线”出现,则就一定会用到第二定义。
2〕动圆与定圆相切的问题,要连接两圆心(平面几何常用辅助线),寻找圆心距间的关系,其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种,在这一点上例3比较有代表性。
例5 与双曲线有相同渐近线,且经过点A(2,-3)的双曲线的方程是______________.
解 设所求双曲线方程是,
∵点A在双曲线上,∴
∴双曲线方程是:
说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。
例6 (1997年全国高考题)椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称,椭圆C的方程是( )
A. B.
C. D.
分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y),易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上,可得椭圆C的方程。
解 设椭圆C上任一点M(x,y),利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知,M’是已知椭圆上的点。
∴所求方程为 即 ,
故选A。
例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).
A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2
解 如图,设M为圆上任意一点,
定点为A (3,0),连AM,设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0),
则CN=1/2,于是N到C的距离为定长1/2,
其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1,
因此选C。
说明 例8例9解法为几何法,即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时,应充分利用它们的几何性质,寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系,在此题中此法比使用其他方法简便。
例8 已知定点A(3,0),P是单位圆x2+y2=上的动点,∠AOP的平分线交PA于M,求M点的轨迹方程。
解 如图,设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。,y。)
由三角形角平分线的性质得。
,即
∴
x= xo=,
y= yo=
∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,
即M :(x-+y2=.
说明 本题解法为代入法,即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo,再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程,这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。
例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1,两根之积为常数k(k≠0),求点(b,c)所表示的曲线方程。
解 根据题意有
b2-4ac=1,
消去a得,b2-4 即b2-。
∴点(b,c)所在曲的线方程是x2-。
说明 本题解法为参数法。
例10(1993年高考题)在面积为1的⊿PMN中,tg∠PMN=1/2,tg∠MNP=-2。建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程。
解 如图,以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,
设以M、N为焦点,且过点P的椭圆方程为,焦点为M(-c,0)、N(c,0)。
由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),
联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为(,),
故S⊿PMN=
由条件SΔPMN=1得c=,即P点坐标为(),
代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,
解得b=,a2=b2+c2=3+=.
所以,所求方程为.
例11 (1998年全国高考题)如图,直线l1和l2相交于点M,电Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等,若⊿AMN为锐角三角形,=,=3,且=6,建立适当坐标系,求曲线段C的方程。
解 如图,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立坐标系,根据题意,曲线段C是以N为焦点,l2为准线的抛物线的一段。
设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标,p=。
∴M(-p/2,0),N(p/2,0)。
由=,=3得
(xA+p/2)2+2p xA=17┄①,
(xA-p/2)2+2p xA =9 ┄② .
联立①②解得xA=p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2,xA=2。
∵⊿AMN是锐角三角形,∴p/2> xA,故舍去p=2,xA=2。
由点P在曲线段C上,得xB=-P/2=4。
综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).
说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系,(利用待定系数法)求曲线方程的解析几何的基本思想,考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。
6.小结
求圆锥曲线的方程(含轨迹)是解析几何的基本内容,必须把握好各种方法在什么情况下使用,适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。解题的主要规律可以概括为:“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系,方法合理过程畅。选参、引参用好参,代入消元巧转换,待定系数为常法,列出等式是关键,理清关系思路开,一点破译全局活。”
7.复习题
1) 已知⊿PAB周长为16,其中A(-3,0),B(3,0),求动点P的轨迹。
2) 已知椭圆的长轴是短轴的两倍,且过点(3,0),则其标准方程是______。
3) 已知直线n:y=x+3与双曲线4x2-y2=1,如果以双曲线的焦点为焦点作椭圆,使椭圆与n有公共点,求这些椭圆中长轴最短的椭圆方程。
4) 已知圆A:(x+2)2+y2=1与定直线m:x=1,动圆P和圆A外切且与直线m相切,求动圆P的圆心的轨迹方程。(答:y2=-8x)
5) 已知双曲线的虚轴长、实轴长和焦距成等差数列,且以y轴为右准线,经过定点P(1,2),求双曲线右焦点的轨迹方程。