请学神解释一下矢量（向量）运算平行四边形法则的原理。内容详实，通俗易懂，最好有图有文，附加每步依据

向量是定义在坐标系上的，而平行四边形法则就是它的运算规则，不需要证明的，也是没办法证明的，就相当于定义形式的东西吧。可以证明的是它的运算规则。你想证可以用坐标系证一下，没什么技术含量。

已知a的模=1，a乘b=1/2,(a-b）乘（a+b)=1/2,求（1）a与b的夹角(2)a-b与a+b的夹角的余弦值

,由(a-b）乘（a+b)=1/2得A方-B方=1/2

A方=1，则B方=1/2，B的模=根号（1/2）=根号2/2

A与B的夹角的余弦=A*B/（模A*模B）=根号2/2

A与B夹角=45度

由图形可直接得A-B与A+B的夹角的余弦值 =1/根号5=根号5/5, 

高中数学平面向量加法

向量的运用
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在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向

向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．

向量 的大小，也就是向量 的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．

平行向量与相等向量
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方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，记作a∥b∥c．0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行．
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．零向量与零向量相等．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

向量的运算
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1、向量的加法：
AB+BC=AC

设a=（x,y） b=(x',y')
则a+b=(x+x',y+y')

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

向量加法的性质：
交换律：
a+b=b+a

结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的减法
AB-AC=CB
a-b=(x-x',y-y')

若a//b
则a=eb
则xy`-x`y=0

若a垂直b
则ab=0
则xx`+yy`=0
3、向量的乘法
设a=（x,y） b=(x',y')
a·b(点积）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夹角

设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使向量p1p=λ向量pp2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)
x=(x1+λx2)/(1+λ)
则有｛
y=(y1+λy2)/(1+λ)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

4、数乘向量
实数∮和向量a的乘积是一个向量，记作∮a，且∣∮a∣=∣∮∣*∣a∣,当∮＞0时，与a同方向；当∮＜0时，与a反方向。
实数∮叫做向量a的系数，乘数向量的几何意义时把向量a沿着的方向或反方向放大或缩小。

向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．
三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具