09数学竞赛答案
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一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填，多填或错填都的0分）1、已知非零实数a、b满足|2a-4| |b 2| (a-3)b2 4=2a，则a b等于（ ）A、-1 B、0 C、1 D、2解 有题设知a≥3，题设等式化为|b 2| (a-3)b2 =0，于是a=3，b=-2，从而a b=1，选C
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2、如图所示，菱形ABCD边长为a，点O在对角线AC上一点，且OA=a，OB=OC=OD=1,则a等于（ ）A、5 12 B、5-12 C、1 D、2解：∵△BOC∽△ABC，∴B0AB =BCAC 即1a =aa 1 ∴a2-a-1=0由于a＞0，解得a=5 12 ，选A
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3、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方形骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则关于x、y的方程组 只有正数解的概率为（ ）A、112 B、29 C、518 D、1336 解 当2a-b=0时，方程组无解当2a-b≠0时，方程组的解为由a、b的实际意义为1，2，3，4，5，6可得又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336 选D
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4、如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB‖CD，∠B=90°，动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，把y看作x的函数，函数图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）A、10 B、16 C、18 D、32解 根据图象可得BC=4,CD=5,DA=5,进而求的AB=8，故S△ABC=12 ×8×4=16 选B
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5、关于x、y的方程x2 xy y2=29的整数解（x、y）的组数为（ ）A、2组 B、3组 C、4组 D、无穷多组解 可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为x2 yx （2y2-29）=0由于该方程有整数根，根据判别式△≥0，且是完全平方数由△=y2-4(2y2-29)= -7y2 116≥0解得y2≤1167 ≈16。
57y2 0 1 4 9 16△ 116 109 88 53 4显然只有y2=16时，△=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为x2 4x 3=0，此时x1=-1，x2=-3当y=-4时，原方程为x2-4x 3=0，此时x3=1，x4=3所以，原方程的整数解为 选C
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6、一自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎。
如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆自行车将能行驶 ；解 设每个轮胎报废时总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为k5000 ，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000 ，又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有 则x y=3750 ∴填3750
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7、已知线段AB的中点为C，以点C为圆心，AB长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD=AC；再以点D为圆心，DA的长位半径作圆，与⊙A分别相交于点F、G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB 的值为 ；解 如图，延长AD与⊙D相交于点E，连接AF，EF。
由题设知AC=13 AD，AB=13 AE,在△FHA和△EFA中，∠EFA=∠FHA=90°，∠FAH=∠EAF∴Rt△FHA∽Rt△EFA，AHAF =AFAE ,而AF=AB,∴AHAB =13 ，填13
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8、已知a1，a2、a3、a4、a5满足条件a1 a2 a3 a4 a5=9的五个不同的整数，若b是关于x的方程（x-a1）（x-a2）（x-a3）（x-a4）（x-a5）=2009的整数根，则b的值为 ；解 ∵（b-a1）（b-a2）（b-a3）（b-a4）（b-a5）=2009,且a1，a2、a3、a4、a5是五个不同的整数，∴（b-a1），（b-a2），（b-a3），（b-a4），（b-a5），也是五个不同的整数，又∵2009=1×（-1）×7×（-7）×41，∴（b-a1） （b-a2） （b-a3） （b-a4） （b-a5）=41，又∵a1 a2 a3 a4 a5=9∴可得b=10 填10
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9、如图所示，在△ABC中，CD是高，CE为∠ACB的平分线，若AC=14,BC=20，CD=12，则CE的长等于 解 如图，有勾股定理知AD=9,BD=16，所以AB=AD BD=25故由勾股定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°作EF⊥BC，垂足为F，设EF=x，由∠ECF=12 ∠ACB=45°，得CF=x，于是BF=20-x，由于EF‖AC，所以EFAC =BFBC ,即x15 =20-x20 ，解得x=607 ∴CE=2 x=607 2 填607 2
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10、10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实告诉两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来，若抱出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ；解 设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应该是8-x，于是报7的人心里想的数是12-（8-x）=4 x，报9的人心里想的数是16-（4 x）=12-x，报1的人心里想的数是20-（12-x）=8 x，报3的人心里想的数是4-（8 x）=-4-x∴x=-4-x，解得x=-2填-2
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13、如图，给定锐角△ABC，BC＜CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过电D、E分别作l的垂线，垂足分别为F、G，试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论？解法1 结论是DF=EG，下面给出的证明。
∵∠FCD=∠EAB，∴Rt△FCD∽Rt△EAB，于是可得……5分DF=BE•CDAB 同理可得EG=AD•CEAB ……10分又∵tan∠ACB=ADCD =BECE ,∴BE•CD=AD•CE，于是可得DF=EG ……20分解法2 结论是DF=EG，下面给出证明……5分 连接DE，∵∠ADB=∠AEB=90°，∴A、B、D、E四点共圆，故∠CED=∠ABC……10分又l是⊙O的过点C的切线，∴∠ACG=∠ABC……15分∴∠CED=∠ACG，于是DE‖FG，故DF=EG……20分。
