数列求通项的七种方法及例题？

an+1=p·an+q的形式，其中p、q为常数，求{an}的通项公式
此类型题，{an}不是等比数列，但是{an}的每一项加上或者减去一个常数后，就会形成一个等比数列{bn}，并且{bn}公比为p。当{bn}的通项算出来之后，{an}的通项公式就很容易求解出来




例题

已知an+1=3·an+2，且a1=1，求{an}的通项公式
解：
an+1+A=3(an+A)①
an+1+A=3·an+3A
an+1=3·an+2A
对比原式an+1=3·an+2，可知2A=2，所以A=1
备注：通过上式的解题步骤就可以算出这个常数值
令bn=an+1，则①式变为bn+1=3bn，即{bn}是一个以2(b1=a1+1)为首项，3为公比的等比数列
∴bn=2·3n-1，又bn=an+1
∴2·3n-1=an+1，即可算出an=2·3n-1-1


题型二


an+1= an+pn+q的形式，其中p、q为常数，求{an}的通项公式
此类型题是通过累加的方式，结合等差数列的求和公式求解出来的。




例题

已知an+1= an+4n+1，a1=2，求{an}的通项公式
解：
将原式变更为an+1-an=4n+1
接下来将每一项都罗列出来即如下
当n=1时，a2-a1=4*1+1
当n=2时，a3-a2=4*2+1
当n=3时，a4-a3=4*3+1
……
当n=n-2时，an-1-an-2=4*(n-2)+1
当n=n-1时，an-an-1=4*(n-1)2+1
将这些等式的左边都加在一起，右边的都加在一起
发现左边的只剩下“an-a1”，右边是一个等差数列
∴an-a1=4*[1+2+3……+(n-2)+(n-1)]+n-1
备注：判断右边式子总共有多少项相加是有个小技巧的，就是用最后一项的项数减去第一项的项数再加1，就是这个数列的总共的求和项数。例如这题：(n-1)-1+1=n-1，所以最后总共有n-1项。在运用等差数列求和公式的时候要注意项的个数问题。
∴an-a1=2n2-n-1，又a1=2
∴an=2n2-n+1
题目延伸：
an+1= an+p·qn+m，其中p、q、m为常数，求{an}的通项公式，这个解题思路与上题是一致的，只是在整个右式相加的时候，换成求一个等比数列求和一个常数列的和。同学们可以尝试解答一下下面的习题。
变式：an+1= an+2·3n+1，其中a1=1，求{an}的通项公式


题型三


an+1=p·an+q·pn+1的形式，其中p、q为常数，求{an}的通项公式
此类型题是将等式两边同时处置pn+1，得到一个新得等差数列{bn}，{bn}求解出来，那么{an}的通项公式也就解出来了。




例题

an+1=2·an+3·2n+1，a1=2，求{an}的通项公式
解：
等式两边同时除以2n+1，



题型四
(n+1)·an=n·an+1的形式，求{an}的通项公式
此类型题是通过累积的方式，求解通项公式




例题
已知(n+1)·an=n·an+1，且a1=2，求{an}的通项公式
解：
∵(n+1)·an=n·an+1



题型五
an-an+1=p·an·an+1的形式，其中p为常数，求{an}的通项公式
此类题目的特点是式子里面同时出现an，an+1和an·an+1，此时等式两边同时除以“an·an+1”即可，即可得到一个新的等差数列{bn}，{bn}求解出来之后{an}即可求解出来。这是固定解题思路。

例题

已知an-an+1=2an·an+1，a1=1，求{an}的通项公式
解：
∵an-an+1=2an·an+1，等式两边同时除以an·an+1



题型六
an+1=panq的形式，其中p、q为常数，求{an}的通项公式
此类型题目结合对数对原式进行变形，得到一个新的等比数列{bn}，{bn}求解出来之后{an}即可求解出来。

例题 :
已知an-an+1=2an·an+1，a1=1，求{an}的通项公式
解：
∵an-an+1=2an·an+1，等式两边同时除以an·an+1



题型七


根据Sn的表达式，求{an}的通项公式
此类型题目求解相对比较简单，直接用an=Sn-Sn-1即可解出{an}的通项公式
注意：出现Sn-1的时候，一定要备注n≥2




例题

已知Sn=n2+2n+1，求{an}的通项公式
解：
已知Sn=n2+2n+1①
∴Sn-1=(n-1)2+2(n-1)+1(n≥2)②
则①-②整理得：an=2n+1(n≥2)
∵a1=S1=4，不符合an=2n+1(n≥2)的通项公式

