世界四大数学难题？
一、世界四大数学难题？
霍奇猜想：霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。
庞加莱猜想：庞加莱根据苹果表面的橡皮带做了一个实验证明苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。
四色问题：四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理最先是由一位毕业于伦敦大学叫格里斯的英国大学生提出来的。
黎曼猜想：1859年，德国数学家黎曼（Riemann）被选为了柏林科学院的通信院士。黎曼对柏林科学院给予他的这一份崇高的荣誉表示非常感激，而为了表达自己的感激之情，他决定将自己的一篇论文献给柏林科学院。
二、世界十大数学难题有哪些
难题”之一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题
难题”之二：霍奇(Hodge)猜想
难题”之三：庞加莱(Poincare)猜想
难题”之四：黎曼(Riemann)假设
难题”之五：杨－米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口
难题”之六：纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性
难题”之七：贝赫(Birch)和斯维讷通－戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想
难题”之八：几何尺规作图问题
难题”之九：哥德巴赫猜想
难题”之十：四色猜想
三、数学三大难题是什么?
数学三大难题是哥德巴赫猜想、费玛大定理、四色问题。
三大问题详细介绍：
1、哥德巴赫猜想
哥德巴赫1690年 3 月 18 日生于普鲁士柯尼斯堡；1764年11月20日卒于俄国莫斯科。著名数学家，宗教音乐家。最有名的理论就是“歌德巴赫猜想”。
问题简述：1742年6月7日，歌德巴赫在给欧拉的信中提出：每一个大于2的偶数都是两个素数的和。欧拉在同年6月30日的回信中说他相信这个猜想，但他不能证明。历代数学家都试探过，但直到250多年后的今天，还没有人能完全证明这个猜想。
2、费玛大定理
皮耶・德・费马是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。之所以称业余，是由于皮耶・德・费马具有律师的全职工作。但是他在数学领域取得的成就并不低于职业数学家差。主要对现代的微积分有所贡献。
问题简述：费玛大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶・德・费玛提出。费马大定理被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年，英国数学家安德鲁・怀尔斯宣布自己证明了费马大定理。
3、四色问题
四色问题又称四色猜想、四色定理，是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理最先是由一位毕业于伦敦大学叫格里斯的英国大学生提出来的。
问题简述：任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。用数学语言表示，即将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
如今随着计算机技术的发展，虽然做了百亿次的判断，但只是在数量上取得成功，并不符合数学严密的逻辑体系，如今仍然有无数的数学爱好者在研究。
四、数学难题
世界近代三大数学难题之一四色猜想
四色猜想的提出来自英国.1852年,毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现了一种有趣的现象：“看来,每幅地图都可以用四种颜色着色,使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢?他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试.兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠,可是研究工作没有进展.
1852年10月23日,他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根,摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径,于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教.哈密尔顿接到摩尔根的信后,对四色问题进行论证.但直到1865年哈密尔顿逝世为止,问题也没有能够解决.
1872年,英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题,于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题.世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 .1878～1880年两年间,著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文,宣布证明了四色定理,大家都认为四色猜想从此也就解决了.
11年后,即1890年,数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的.不久,泰勒的证明也被人们否定了.后来,越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获.于是,人们开始认识到,这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力,为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路.
进入20世纪以来,科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行.1913年,伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧,美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色.1950年,有人从22国推进到35国.1960年,有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国.看来这种推进仍然十分缓慢.电子计算机问世以后,由于演算速度迅速提高,加之人机对话的出现,大大加快了对四色猜想证明的进程.1976年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿判断,终于完成了四色定理的证明.四色猜想的计算机证明,轰动了世界.它不仅解决了一个历时100多年的难题,而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点.不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就,他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法.
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世界近代三大数学难题之一 费马最后定理
被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有
关数学难题得以解决的消息,那则消息的标题是「在陈年数学困局中,终於有人呼叫『
我找到了』」.时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的
男人照片.这个古意盎然的男人,就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马
小传请参考附录）.费马是十七世纪最卓越的数学家之一,他在数学许多领域中都有极
大的贡献,因为他的本行是专业的律师,为了表彰他的数学造诣,世人冠以「业余王子
」之美称,在三百六十多年前的某一天,费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的
数学书时,突然心血来潮在书页的空白处,写下一个看起来很简单的定理这个定理的内
容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题,当n=2时就是我们所熟知的毕氏定
理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2,此处z表一直角形之斜边而x、y为其之
两股,也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和,这个方程式当然有
整数解（其实有很多）,例如：x=3、y=4、z=5；x=6、y=8、z=10；x=5、y=12、z=13…
等等.
费马声称当n>2时,就找不到满足xn +yn = zn的整数解,例如：方程式x3 +y3=z3就无法
找到整数解.
当时费马并没有说明原因,他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙
法,只是书页的空白处不够无法写下.始作俑者的费马也因此留下了千古的难题,三百
多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功.这个号称世纪难题的费马最
后定理也就成了数学界的心头大患,极欲解之而后快.
十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和
三百法郎给任何解决此一难题的人,可惜都没有人能够领到奖赏.德国的数学家佛尔夫
斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克,给能够证明费马最后定理是正确的人,
有效期间为100年.其间由於经济大萧条的原因,此笔奖额已贬值至七千五百马克,虽然
如此仍然吸引不少的「数学痴」.
二十世纪电脑发展以后,许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的
,1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为286243-1时费马定理是正确
的（注286243-1为一天文数字,大约为25960位数）.
虽然如此,数学家还没有找到一个普遍性的证明.不过这个三百多年的数学悬案终於解
决了,这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决.其实威利斯是
利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明.
五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想,后来由另一位数学家志
村五郎加以发扬光大,当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联.在八0年代德
国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起,而威利斯所做的正是根据这个关联
论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的,进而推出费马最后定理也是正确的.这个结论
由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表,这个报
告马上震惊整个数学界,就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注.不过威利斯的
证明马上被检验出有少许的瑕疵,於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以
修正.1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答,数学界的梦魇终於结束.1997年6
月,威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖.当年的十万法克约为两百万美金
,不过威利斯领到时,只值五万美金左右,但威利斯已经名列青史,永垂不朽了.
要证明费马最后定理是正确的
（即xn + yn = zn 对n33 均无正整数解）
只需证 x4+ y4 = z4 和xp+ yp = zp (P为奇质数),都没有整数解.
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世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士.1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和.如6＝3＋3,12＝5＋7等等. 1742年6月7日,哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉,并请他帮助作出证明.欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意.他们对一个个偶数开始进行验算,一直算到3．3亿,都表明猜想是正确的.但是对于更大的数目,猜想也应是对的,然而不能作出证明.欧拉一直到死也没有对此作出证明.从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意.200年过去了,没有人证明它.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”.到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近.1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99).这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了“哥德巴赫”. 1924年,数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年,数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年,数学家布赫斯塔勃证明了(5十5),1940年,他又证明了(4＋4)；1956年,数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)可见纳
维尔C史托克方程本身有非常丰富之内涵.
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的
三维闭流形与三维球面同胚.
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之
后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题.
庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将
之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的
≥
n(n4)维闭流形,如果与n
≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚.
经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以
巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的
≥
广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之
后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆
测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真
正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜.
=
一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许
多迹象显示斐雷曼可能已经庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首
次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同
日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测
被证明了,这次是真的!」[14].
数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现
斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞.
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时
就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、
几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马
最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与
椭圆曲线有关.
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些
多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限
呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念
并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷
多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与
黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他
们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结
果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的
Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1)
；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之
上同调类的有理组合.」
最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可
能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象
参考资料：《数学的100个基本问题》《数学与文化》《希尔伯特23个数学问题回顾》
