因式分解到底怎么分?
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a 4ab 4b (2003南通市中考题)
a 4ab 4b =（a 2b）
3、 分组分解法
要把多项式am an bm bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m n) b(m n),又可以提出公因式m n,从而得到(a b)(m n)
例3、分解因式m 5n-mn-5m
m 5n-mn-5m= m -5m -mn 5n
= (m -5m ) (-mn 5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx px q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac bd=p,则多项式可因式分解为(ax d)(bx c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x 2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解。
例5、分解因式x 3x-40
解x 3x-40=x 3x ( ) -( ) -40
=(x ) -( )
=(x )(x - )
=(x 8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)
bc(b c) ca(c-a)-ab(a b)=bc(c-a a b) ca(c-a)-ab(a b)
=bc(c-a) ca(c-a) bc(a b)-ab(a b) =c(c-a)(b a) b(a b)(c-a) =(c b)(c-a)(a b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来。
例7、分解因式2x -x -6x -x 2
2x -x -6x -x 2=2(x 1)-x(x 1)-6x
=x [2(x )-(x )-6
令y=x ,x [2(x )-(x )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y 2)(2y-5)
=x (x 2)(2x -5)
= (x 2x 1) (2x -5x 2)
=(x 1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x 7x -2x -13x 6
令f(x)=2x 7x -2x -13x 6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x 7x -2x -13x 6=(2x-1)(x 3)(x 2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x 2x -5x-6
令y= x 2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x 2x -5x-6=(x 1)(x 3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c) b (c-a) c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c) b (c-a) c (a-b)=a (b-c)-a(b -c ) (b c-c b)
=(b-c) [a -a(b c) bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x 9x 23x 15
令x=2,则x 9x 23x 15=8 36 46 15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x 1,x 3,x 5,在x=2时的值
则x 9x 23x 15=（x 1）（x 3）（x 5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式。
设x -x -5x -6x-4=(x ax b)(x cx d)
= x (a c)x (ac b d)x (ad bc)x bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x x 1)(x -2x-4)。
