北师大版高中数学必修5教案
第一章 数 列
1.1 数列的概念
课时目标1.理解数列及其有关概念；2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前n项写出它的通项公式．
1．一般地，按一定________排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…简记为数列{an}，其中数列的第1项a1也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
2．项数有限的数列称________数列，项数无限的数列称为______数列．
3．如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为()
A．an＝n B．an＝n＋1
C．an＝n＋2 D．an＝2n
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的前4项依次为()
A．1,0,1,0 B．0,1,0,1
C.，0，，0 D．2,0,2,0
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是()
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n・180°)]
C．an＝sin2(n・90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
4．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的()
A．第5项 B．第6项
C．第7项 D．非任何一项
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
6．设an＝＋＋＋…＋ (n∈N＋)，那么an＋1－an等于()
A. B.
C.＋ D.－
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式为an＝.则它的前4项依次为_____．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，那么是这个数列的第______项．
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是______________．
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年―公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…
(3)，，－，，－，，…
(4)，1，，，… (5)0,1,0,1，…
12．已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
能力提升
13．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是____________________________．
14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成
an＝其中k∈N＋.
1.2 数列的函数特性
课时目标1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3.了解数列和函数之间的关系，能用函数的观点研究数列．
1．如果数列{an}的第1项或前几项已知，并且数列{an}的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．
2．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．
3．一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即__________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列．
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()
A．递增数列 B．递减数列
C．常数项 D．不能确定
2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是()
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
3．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是()
A．1 B.
C. D.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1・a2・a3…an＝n2，则：a3＋a5等于()
A. B.
C. D.
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，则a2 010的值为()
A. B.
C. D.
6．已知an＝，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是()
A．a1，a30 B．a1，a9
C．a10，a9 D．a10，a30
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝3,4Sn＝6an－an－1＋4Sn－1，则an＝________.
8．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N＋)，则使an>100的n的最小值是________．
9．若数列{an}满足：a1＝1，且＝(n∈N＋)，则当n≥2时，an＝________.
10．已知数列{an}满足：an≤an＋1，an＝n2＋λn，n∈N＋，则实数λ的最小值是________．
三、解答题
11．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N＋)．
(1)求证：an＋3＝an；
(2)求a2 010.
12．已知an＝ (n∈N＋)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
能力提升
13．已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N＋，则通项公式an＝________.
14．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)・a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式是________．
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N＋或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图像是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图像可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图像呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增⇔an＋1>an对任意的n (n∈N＋)都成立．类似地，有{an}递减⇔an＋1
